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📖 Explicação Teórica: O Conjunto dos Números Inteiros ($\mathbb{Z}$)

No conjunto dos números naturais $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$, operações de subtração em que o minuendo é menor do que o subtraendo são impossíveis (exemplo: $4 - 7 = ?$).

Para resolver esse problema, criou-se o conjunto dos números inteiros ($\mathbb{Z}$), formado pelos números naturais e pelos seus respetivos opostos negativos:

$$\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$

Aplicações Práticas no Quotidiano:

• Temperaturas: Acima de zero ($+$) e abaixo de zero ($-$). Ex: $-8^\circ\text{C}$ = 8 graus abaixo de zero.
• Finanças: Crédito/Depósito ($+$) e Débito/Retirada ($-$). Ex: $-500$ = débito de 500 reais.
• Altitudes: Acima do nível do mar ($+$) e Profundidades/Abaixo do nível do mar ($-$).
• Elevadores: Andares superiores ($+$), Térreo ($0$) e Subsolos ($-$). Ex: $-2$ = 2º subsolo.

📖 Explicação Teórica: Subconjuntos de $\mathbb{Z}$ e Comparação na Reta Numérica

Dentro do conjunto dos números inteiros ($\mathbb{Z}$), destacam-se os seguintes subconjuntos principais:

• $\mathbb{Z}_-$ (Inteiros não-positivos): $\{\dots, -3, -2, -1, 0\}$ (inclui o zero e os negativos).
• $\mathbb{Z}_+$ (Inteiros não-negativos): $\{0, 1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N}$ (coincide com os naturais).
• $\mathbb{Z}^*$ (Inteiros não-nulos): $\{\dots, -3, -2, -1, 1, 2, 3, \dots\}$ (exclui apenas o zero).
• $\mathbb{Z}^*_-$ (Inteiros estritamente negativos): $\{\dots, -3, -2, -1\}$.
• $\mathbb{Z}^*_+$ (Inteiros estritamente positivos): $\{1, 2, 3, \dots\}$.

Comparação de Inteiros na Reta Numérica ($>$ e $<$):

Na reta numérica, qualquer número localizado à direita é MAIOR do que qualquer número à sua esquerda.

• Qualquer número positivo é maior que zero ($+5 > 0$).
• Zero é maior do que qualquer número negativo ($0 > -3$).
• Entre dois números negativos, o maior é aquele que está mais próximo do zero (ex: $-2 > -10$).

📖 Explicação Teórica: Sucessor, Antecessor e Números Opostos ou Simétricos

1. Sucessor e Antecessor em $\mathbb{Z}$:

• Sucessor: É o número inteiro imediatamente à sua direita na reta numérica (vem depois). Para encontrar o sucessor de um número $n$, calcula-se $n + 1$.
  Exemplos: O sucessor de $-10$ é $-9$; o sucessor de $5$ é $6$; o sucessor de $-1$ é $0$.
• Antecessor: É o número inteiro imediatamente à sua esquerda na reta numérica (vem antes). Para encontrar o antecessor de um número $n$, calcula-se $n - 1$.
  Exemplos: O antecessor de $-15$ é $-16$; o antecessor de $10$ é $9$; o antecessor de $0$ é $-1$.

2. Números Opostos ou Simétricos:

Dois números inteiros são chamados de opostos ou simétricos quando estão à mesma distância da origem ($0$) na reta numérica, em sentidos contrários.

• O oposto de $+10$ é $-10$.
• O oposto de $-25$ é $+25$.
• O oposto de $0$ é o próprio $0$.
• Atenção: O oposto do oposto de um número é o próprio número! Exemplo: $-(-10) = +10$.

📖 Explicação Teórica: Números Consecutivos, Módulo e Eliminação de Parênteses

1. Números Consecutivos: Números inteiros que se seguem sem interrupção na reta numérica (exemplo: $-4, -3, -2$).

2. Valor Absoluto ou Módulo ($|x|$):

O módulo representa a distância de um número até o zero na reta numérica. Por tratar-se de uma distância, o módulo é sempre positivo ou nulo.

• $|-10| = 10$ (a distância de $-10$ até o zero é de 10 unidades).
• $|+7| = 7$ (a distância de $+7$ até o zero é de 7 unidades).
• $|0| = 0$.

3. Eliminação de Parênteses e Regra dos Sinais:

• Sinal positivo $+$ antes dos parênteses: mantém o sinal interno. Ex: $+(+a) = +a$.
• Sinal negativo $-$ antes dos parênteses: inverte o sinal interno. Ex: $-(-a) = +a$.